June 23, 2004.
Нет, речь пойдет не о монстре Borcherds'а-Griess'а-Fischer'а (о котором можно прочесть в замечательной рубрике What Is? в Notices AMS), а о монстре совсем другого рода.
Когда-то на заре XX века Tarski поспекулировал на тему о том каковы могут быть бесконечные группы, все подгруппы которых устроены максимально просто. Как может быть максимально просто? Ну, скажем, абелевы. Или еще лучше (то бишь проще) - циклические конечного порядка. А еще лучше - цикличекие фиксированного простого порядка.
Такие гипотетические группы были с тех пор прозваны монстрами Тарского.
Монстры перестали быть гипотетическими, когда, кажется, в начале 80-х, независимо Рипс и Ольшанский построили примеры монстров.
Рипс, увы, как у него принято, ничего не опубликовал, а Ольшанский развил это дело в целую налаженную индустрию, строя один за другим захватывающие дыхание все более монстровидные и монстровидные примеры бесконечных групп, и написав об этом книжку.
Наука это очень сложная и вычислительная, основанная на геометрически-мотивированных манипуляциях с образующими и определяющими соотношениями, и это совсем другая история.
А теперь, как это неизбежно рано или поздно случается, зададим тот же теоретико-групповой вопрос для алгебр Ли: а каковы бесконечномерные алгебры Ли, все подалгебры которых устроены максимально просто?
В Ли-алгебраическом случае "максимально просто" может, опять же, означать абелевы, ну а конечно совсем замечательно было бы если б они все были одномерными - то есть решетка подалгебр будет совпадать с решеткой одномерных пространств - проще уж некуда.
Вот и обзовем такие гипотетические алгебры Ли монстрами.
Такие вопросы обычно для алгебр Ли более просты чем для групп. Однако существование Ли-монстров по сей день остается загадкой (хочется добавить: будоражущей умы человечества. Ну так не чтоб очень. Хотя вроде неглупые люди пытались ее решить).
Ну раз загадка - то с какой стати мы сразу бросаемся в бесконечномерный случай, начнем с конечномерных алгебр. Если конечномерные над алгебраически замкнутым полем - то все решается очень быстро (почти как для конечных групп): для некоторого нецентрального элемента x алгебры рассмотрим ненулевое собственное значение ad(x), и получим двумерную неабелеву подалгебру. А если таких значений нет, то все элементы нильпотентны, тогда и алгебра нильпотентна, и легко видеть что она должна быть трехмерной.
Над алгебраически незамкнутым полем все усложняется (рассмотрим, скажем, su(2) над R), и начинает уходить в сплошную не-Ли-алгебраическую метафизику, типа групп Брауера. Но это совсем другая история. Так что пусть наш монстр будет бесконечномерным, и кстати поле какое угодно - хоть C.
Задачка отчасти привлекательна тем, что ничего особенно не зная и не понимая, можно с ходу надоказывать кучу простых фактов о монстрах. Отметим один: свободная алгебра Ли вкладывается в некоторое ультрапроизведение монстра. Или вот еще: для любого n монстр обладает заданием образующими и определяющими соотношениями, для которого все степени нетривиальных соотношений больше n. (Это последнее связано с понятием girth, которое недавно начало осваиваться для групп - но это уже другая история). Ну уж и совсем простое, типа об алгебраических элементах, буде таковые имеются, центализаторах-нормализаторах разных подпространств, и проч., и проч.
Как из этого сборища фактов получить противоречие, либо извлечь пример - непонятно.
Added August 10, 2011.
There is plethora of related questions (see., e.g., Dniester notebook, 2.32 and 3.28,
and papers by Alexander Gein).
Does there exist:
If monster exists, it will be an (infinite-dimensional) Lie algebra with the possible "simplest" lattice of subalgebras. What is the next "simplest" one? (Alternatively, if monster does not exist, what are Lie algebras with the "simplest" possible lattice of subalgebras?).